Pourquoi les perturbations gravitationnelles sont-elles plus fortes sur les grands axes semi-majeurs?

Pourquoi des mécanismes tels que l'effet Kozai-Lidov sont-ils plus visibles sur les grands axes semi-majeurs?

Si nous avions un système binaire d'un corps primaire et secondaire, avec le troisième perturbateur comme le Soleil. Pourquoi est-ce que le secondaire ressent plus de perturbations de l'influence gravitationnelle du soleil, plus il s'éloigne du primaire?

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"Pourquoi le secondaire ressent-il plus de perturbations dues à l'influence gravitationnelle du soleil, plus il s'éloigne du primaire?"

En bref, c’est parce que l’accélération nette perturbatrice sur le secondaire n’est que la différence (vectorielle) entre (a) l’attraction accélératrice du corps perturbateur ressentie par le secondaire, et (b) l'attraction accélératrice vis-à-vis du corps perturbateur ressentie par le primaire.

Ainsi, plus le secondaire est proche du primaire, plus la taille et la direction de ces deux attractions vers le perturbateur sont presque égales, et plus leur différence de vecteur est proche de zéro. Un autre résultat est que plus les changements de vitesse en taille et en direction produits par les accélérations perturbatrices primaire et secondaire sont similaires, et plus la perturbation résultante de leurs mouvements les uns par rapport aux autres est proche de zéro.

Cela est connu depuis longtemps comme une conséquence du 6ème corollaire de Newton aux lois du mouvement: "Si des corps, de toute façon déplacés entre eux, sont poussés dans la direction de lignes parallèles par des forces d'accélération égales, ils continueront tous à se déplacer entre eux. de la même manière que s’ils n’avaient été invités par aucune de ces forces. "

Étant donné que les trajectoires possibles du primaire et du secondaire peuvent être extrêmement variées en dehors des perturbations, toutes les illustrations détaillées peuvent rapidement développer des expressions trigonométriques massives et complexes.

Mais dans tous les cas, y compris celui de l'effet Kozai-Lidov, l'ampleur de l'effet, quelle que soit sa forme, dépend de la taille des accélérations perturbatrices du réseau.

Une configuration très simplifiée peut au moins montrer par exemple comment une force de perturbation nette, affectant le mouvement relatif du primaire et du secondaire, est presque directement proportionnelle à la première puissance de la distance entre le primaire et le secondaire - bien qu'elle dépende aussi bien sûr facteurs dus aux changements de configuration angulaire.

Le diagramme ci-dessous indique certaines configurations très simplifiées.

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Suppose first that the primary (E) and secondary (M) are for one instant in line with the perturbing body (S), with M at M1 between E and S. Let s stand for distance ES, and d for distance EM (with d << s). Suppose also that the mass of E and M are negligibly small relative to the mass of S (though not negligible relative to each other).

Avec ces approximations, les attractions d'accélération de S sur M et de S sur E sont respectivement $ k/(sd) ^ 2 $ et $ k/s ^ 2, $ et l'accélération perturbatrice nette sur M est la différence $ (k/( sd) ^ 2 - k/s ^ 2). $

En mettant $ s (1-d/s) $ pour (sd), et en utilisant le développement binomial de $ 1/(1-d/s) ^ 2 $, on voit que les termes en $ k/s ^ 2 $ annulent , laissant la force de perturbation nette sous la forme $ k/s ^ 2 * (2d/s) $, plus les termes de puissances supérieures de d/s, c’est-à-dire en $ kd ^ 2/s ^ 4 $, etc.

Lorsque d est très inférieur à s, les termes de puissance supérieure en d/s peuvent être négligés, puis l'accélération perturbatrice nette sur M en M1 dans la configuration-exemple choisie est proche de $ 2 kd/s ^ 3 $, loin de E et vers S.

Si au lieu de cela la configuration a M en M2 pour que E soit en ligne entre M et S, alors l'accélération perturbatrice nette sur M devient clairement $ ~ -2 k d/s ^ 3 $, c'est-à-dire éloignée de E et éloignée de S.

Si au lieu de cela M est à M3, avec la droite EM3 perpendiculaire à ES et si l'angle ESM3 peut être considéré comme suffisamment petit pour que son cosinus puisse être approché à 1 et son sinus à d/s, alors il est facile ont trouvé que l'accélération de perturbation nette sur M en M3 est d'environ $ kd/s ^ 3 $ vers E, en négligeant à nouveau les puissances supérieures de d/s.

Si M est à une position intermédiaire M4 et que D représente l'angle ESM4, on peut voir en utilisant un peu plus de trigonométrie que l'accélération perturbatrice nette sur M en M4, sous les hypothèses déjà faites, a une composante parallèle à la droite ES de environ $ +2 kd cos D/s ^ 3 $, et une composante perpendiculaire à la droite ES (agissant toujours vers la droite ES) d’environ $ kd sin D/s ^ 3 $.

Tous les composants sont proportionnels à la séparation E-M d, dans la mesure où la série de termes omis dans les puissances supérieures de d/s peut être traitée comme négligeable comme cela a été fait ici.

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